Trouver les valeurs propres de la matrice $$A=\begin{pmatrix}-7&12\\ -4&7\end{pmatrix}$$

Exprimer \(A-X\operatorname{Id}\)
$$A-X\operatorname{Id}=\begin{pmatrix}-7-x&12\\ -4&7-x\end{pmatrix}$$

Calculer le déterminant
$$\operatorname{det}(A-X\operatorname{Id})=(-7-x)(7-x)+48=x^2-1$$

Isoler les valeurs propres

$$=(x-1)(x+1)$$ donc les valeurs propres de \(A\) sont \(\lambda=-1\) et \(\lambda=1\)

(Vecteur propre - Valeur propre)

Soit \(\alpha\in{\Bbb R}\) et \(A_\alpha\in M_3({\Bbb R})\) la matrice suivante $$A_\alpha=\begin{pmatrix}-1&0&\alpha+1\\ 1&-2&0\\ -1&1&\alpha\end{pmatrix}$$ factoriser le polynôme caractéristique \(P_{A_\alpha}(X)\) en produit de facteurs du premier degré

$$\begin{align} P_{A_\alpha}(\lambda)&=\begin{vmatrix}-1-\lambda&0&\alpha+1\\ 1&-2-\lambda&0\\ -1&1&\alpha-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(-1-\lambda)\begin{vmatrix}-2-\lambda&0\\ 1&\alpha-\lambda\end{vmatrix}+(\alpha+1)\begin{vmatrix}1&-2-\lambda\\ -1&1\end{vmatrix}\\ &=(-1-\lambda)(-2-\lambda)(\alpha-\lambda)+(\alpha+1)(1-2-\lambda)\\ &=-(\lambda+1)(\lambda^2+(2-\alpha)\lambda-2\alpha+\alpha+1)\\ &=-(\lambda+1)(\lambda^2+(2-\alpha)\lambda-\alpha+1)&\gets\text{racine évidente : }-1\\ &=-(\lambda+1)^2(\lambda+\alpha-1)\end{align}$$

On suppose qu'il existe \(M\in S_2({\Bbb Q})\) telle que \(\sqrt3\) est valeur propre de \(M\)
En utilisant l'irrationalité de \(\sqrt3\), montrer que le polynôme caractéristique de \(M\) est \(X^2-3\)

Autre racine
\(\sqrt3\) est racine du polynôme caractéristique et d'après la conjecture de Galois, \(-\sqrt3\) est aussi racine du polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique est donc : $$\chi_M(X)=(X-\sqrt3)(X+\sqrt3)=X^2-3$$

On suppose qu'il existe \(M\in S_2({\Bbb Q})\) telle que \(\sqrt3\) est valeur propre de \(M\)
Sachant que \(\chi_M(X)=X^2-3\) et qu'il n'existe pas de triplet d'entiers \((x,y,z)\) premiers entre eux dans leur ensemble tels que \(x^2+y^2=3z\), montrer que \(\sqrt3\) n'est pas valeur propre d'une matrice de \(S_2({\Bbb Q})\)

Calcul du déterminant et caractéristiques de la matrice
$$\begin{align}\operatorname{det}\left( XI-\begin{pmatrix} a&b\\ b&d\end{pmatrix}\right)&=X^2-(a+d)X+(ad-b^2)=0\\ &=(X-\sqrt3)(X+\sqrt3)=X^2-3\end{align}$$
Avec \(a=-d\) et \(-a^2-b^2=-3\) (trace)

Remplacer par une fraction d'entiers
Puique \(a,b\in{\Bbb Q}\), on peut poser \(p,p^\prime,q,q^\prime\in{\Bbb Z}\) tels que $$a=\frac pq\quad\text{ et }\quad b=\frac{p^\prime}{q^\prime}\quad\text{ avec }\quad q,q^\prime\gt 0\quad\text{ et }\quad\operatorname{pgcd}(p,q)=\operatorname{pgcd}(p^\prime,q^\prime)=1$$

Se ramener à l'équation impossible de l'énoncé \(\to\) conclusion

On a donc $$\begin{align}-\frac{p^2}{q^2}-\frac{p^{\prime2}}{q^{\prime2}}=-3&\iff\frac{p^2q^{\prime2}+p^{\prime2}q^2}{qq^{\prime2}}=3\\ &\iff(pq^\prime)^2+(p^\prime q)^2=3(qq^\prime)^2\end{align}$$
Puisque \(pq^\prime,p^\prime q,qq^\prime\in{\Bbb Z}\) et puique qu'ils sont premiers entre eux, cela est impossible

On suppose l'existence d'une matrice \(M\in S_n({\Bbb Q})\) (pour un certain entier \(n\)) donc \(\sqrt[3]2\) est valeur propre
Montrer que \(X^3-2\) divise le polynôme caractéristique de \(M\) (on pourra commencer par montrer que \(\sqrt[3]2\notin{\Bbb Q}\))

Création d'un idéal
Soit \(\mathscr J=\{P\in{\Bbb Q}[X]\mid P(\sqrt[3]2)=0\}\). \(\mathscr J\) est un idéal de \({\Bbb Q}[X]\)
Alors \(\exists P_0\in{\Bbb Q},\mathscr J=(P_0)\)
$$X^3-2\in\mathscr I\implies P_0\mid X^3-2\in{\Bbb Q}[X]$$

Différents degrés \(\to\) degré \(0\) absurde
On a \(\deg P_0\leqslant3\)
Si \(\deg P_0=0\), alors \(\mathscr I={\Bbb Q}[\sqrt2]\)
C'est absurde car \(X\) n'annule pas \(\sqrt2\)

Degré \(1\) absurde
Si \(\deg P_0=1\), alors \(P_0=X-\sqrt2\)
C'est absurde car \(X-\sqrt2\notin{\Bbb Q}[X]\)

Degré \(2\) : aucune racine possible n'est rationnelle
Si \(\deg P_0=2\), alors \(\exists Q,\deg Q=1\) et \(X^3-2=P_0Q\)
Donc \(Q\) a une racine \(a_0\) rationnelle satisfaisant \(a_0^3=2\)
Les solutions de \(X^3-2=0\) sont \(\sqrt[3]2\), \(\sqrt[3]2e^{2\pi i/3}\) et \(\sqrt[3]2e^{-2\pi i/3}\)
Aucune de ces racines n'est rationnelle, donc c'est également impossible

Donc \(\mathscr I=(X^3-2)\)
Donc, dans \({\Bbb Q}[X]\), \(X^3-2\) divise le polynôme caractéristique de \(M\)

On suppose l'existence d'une matrice \(M\in S_n({\Bbb Q})\) (pour un certain entier \(n\)) donc \(\sqrt[3]2\) est valeur propre
Sachant que \(X^3-2\) divise le polynôme caractéristique de \(M\), montrer que \(\sqrt[3]2\) n'est pas valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans \({\Bbb Q}\)